As vibrações de uma corda de violino podem ser analisadas de forma mais simples através da transformada de seno do que através da transformada de Fourier.
Em matemática, a transformada de seno (ou transformada de Fourier de seno) e a transformada de cosseno (ou transformada de Fourier de cosseno) de uma função
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
são as transformadas integrais definidas, respectivamente, pela parte imaginária e pela parte real da transformada de Fourier de
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
.[ 1]
Essas transformadas podem ser consideradas casos especiais da transformada de Fourier que aparecem naturalmente quando
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
é uma função, respectivamente, ímpar ou par .
A transformada de cosseno de uma função par concorda[ nota 1] com a transformada de Fourier
A transformada de seno de uma função ímpar concorda[ nota 1] com a transformada de Fourier
Mais geralmente, a transformada de cosseno/seno da parte par/ímpar de uma função é igual[ nota 1] a 1/i vezes a parte par/ímpar da transformada de Fourier daquela função, se as componentes de frequência negativa forem desconsideradas.[ nota 2] [ 2]
Como os núcleos das transformações não possuem as propriedades notáveis da função exponencial complexa usada pela transformada de Fourier, as transformadas de seno e de cosseno são menos interessantes matematicamente; por outro lado, certas características as tornam adequadas para aplicação em problemas específicos, especialmente no caso das suas versões discretas .[ 3]
Como a transformada de Fourier é definida por[ nota 3]
F
(
ω
)
=
F
(
f
)
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
.
{\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}(f)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.}
Expandindo o integrando por meio da fórmula de Euler , obtemos a integral
F
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
(
cos
ω
t
−
i
sin
ω
t
)
d
t
,
{\displaystyle F(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{\omega t}-i\,\sin {\,\omega t})\,dt,}
que pode ser escrita como a soma de duas integrais
F
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
cos
ω
t
d
t
−
i
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
sin
ω
t
d
t
.
{\displaystyle F(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{\omega t}\,dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt.}
Se
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
for uma função ímpar, o produto f(t) cosωt será também uma função ímpar, enquanto que o produto f(t)sinωt será uma função par. Uma vez que a integral está sendo calculada em um intervalo simétrico em torno da origem (i.e. -∞ to +∞), a primeira integral deve ser igual a zero, e a segunda pode ser expressa de forma simplificada como
F
(
ω
)
=
−
i
∫
0
∞
f
(
t
)
sin
ω
t
d
t
,
{\displaystyle F(\omega )=-i\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt,}
que é a transformada de seno da função
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
. Obviamente, a função resultante
F
(
{\displaystyle F(}
ω
)
{\displaystyle )}
será também uma função ímpar.
Raciocínio similar aplicado à transformada inversa de Fourier resulta em uma segunda transformada de seno
f
(
t
)
=
i
2
π
∫
0
∞
F
(
ω
)
sin
ω
t
d
ω
.
{\displaystyle f(t)=i\;{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }F(\omega )\sin \,{\omega t}\,d\omega .}
Os fatores numéricos nas fórmulas das transformadas de Fourier são convencionais, por isso os multplicadores podem ser omitidos, resultando na forma mais comum das transformadas de seno e sua inversa
S
{
f
(
t
)
}
=
S
(
ω
)
=
∫
0
∞
f
(
t
)
sin
ω
t
d
t
(
1
a
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{f(t)\}\;=\;S(\omega )\;=\;\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt\;\;\;\;\;(1a)}
e
f
(
t
)
=
S
−
1
{
S
(
ω
)
}
=
2
π
∫
0
∞
S
(
ω
)
sin
ω
t
d
ω
(
1
b
)
{\displaystyle f(t)\;=\;{\mathcal {S}}^{-1}\{S(\omega )\}\;=\;{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }S(\omega )\sin \,{\omega t}\,d\omega \;\;\;\;\;(1b)}
Se
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
for uma função par, raciocínio similar resulta em
C
{
f
(
t
)
}
=
C
(
ω
)
=
∫
0
∞
f
(
t
)
cos
ω
t
d
t
(
1
c
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f(t)\}\;=\;C(\omega )\;=\;\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\cos \,{\omega t}\,dt\;\;\;\;\;(1c)}
que é a transformada de cosseno de
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
, que é uma função par, e na fórmula da transformada inversa
f
(
t
)
=
C
−
1
{
C
(
ω
)
}
=
2
π
∫
0
∞
C
(
ω
)
cos
ω
t
d
ω
(
1
d
)
{\displaystyle f(t)\;=\;{\mathcal {C}}^{-1}\{C(\omega )\}\;=\;{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }C(\omega )\cos \,{\omega t}\,d\omega \;\;\;\;\;(1d)}
[ 4]
Para que as transformadas existam, é condição suficiente que
f(t) seja absolutamente integrável no intervalo [0,∞]
f'(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞]
Se essas condições são satisfeitas, então, se F(ω) = F{f(t)} é a transformada de seno ou de cosseno de f(t), e F-1 {F(ω)} é a respectiva inversa, então
F-1 {F(ω)} é igual a f(t) em todo subintervalo de [0,∞] onde f(t) é contínua
F-1 {F(ω)} é igual à média de f(t-ε) e f(t+ε) em toda descontinuidade de f(t)
Condições suficientes mais fortes são requeridas para algumas das propriedades tratadas abaixo :
f(t) seja absolutamente integrável no intervalo [0,∞]
f(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞]
No que segue, trataremos esses dois conjuntos de condições por condições fracas e condições fortes de existência, respectivamente.[ 5]
C
{
f
(
a
t
)
}
=
1
a
⋅
C
(
ω
a
)
|
a
>
0
(
2
a
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f(at)\}\;=\;{\frac {1}{a}}\cdot C\left({\frac {\omega }{a}}\right)\qquad |\;a\;>\;0\;\;\;\;\;(2a)}
S
{
f
(
a
t
)
}
=
1
a
⋅
S
(
ω
a
)
|
a
>
0
(
2
b
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{f(at)\}\;=\;{\frac {1}{a}}\cdot S\left({\frac {\omega }{a}}\right)\qquad |\;a\;>\;0\;\;\;\;\;(2b)}
[ 5]
Se a é um número real positivo e fp (t) é uma função par tal que
então f(p (t) é a extensão par de f(t) nesse intervalo, e valem as relações
C
{
f
p
(
t
+
a
)
+
f
p
(
t
−
a
)
}
=
C
{
f
(
t
+
a
)
+
f
p
(
|
t
−
a
|
)
}
=
2
⋅
cos
(
a
ω
)
⋅
C
(
ω
)
(
2
c
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f_{p}(t\;+\;a)\;+\;f_{p}(t\;-\;a)\}\;=\;{\mathcal {C}}\{f(t\;+\;a)\;+\;f_{p}(|t\;-\;a|)\}\;=\;2\cdot \cos(a\omega )\cdot C(\omega )\;\;\;\;\;(2c)}
S
{
f
p
(
t
−
a
)
−
f
p
(
t
+
a
)
}
=
S
{
f
(
|
t
−
a
|
)
−
f
p
(
t
+
a
)
}
=
2
⋅
sin
(
a
ω
)
⋅
C
(
ω
)
(
2
d
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{f_{p}(t\;-\;a)\;-\;f_{p}(t\;+\;a)\}\;=\;{\mathcal {S}}\{f(|t\;-\;a|)\;-\;f_{p}(t\;+\;a)\}\;=\;2\cdot \sin(a\omega )\cdot C(\omega )\;\;\;\;\;(2d)}
Se, por outro lado, a é um número real positivo e fi (t) é uma função ímpar tal que
então f(p (t) é a extensão ímpar de f(t) nesse intervalo, e valem as relações
S
{
f
i
(
t
+
a
)
+
f
i
(
t
−
a
)
}
=
2
⋅
cos
(
a
ω
)
⋅
S
(
ω
)
(
2
e
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{f_{i}(t\;+\;a)\;+\;f_{i}(t\;-\;a)\}\;=\;2\cdot \cos(a\omega )\cdot S(\omega )\;\;\;\;\;(2e)}
C
{
f
i
(
t
+
a
)
+
f
i
(
t
−
a
)
}
=
2
⋅
sin
(
a
ω
)
⋅
C
(
ω
)
(
2
f
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f_{i}(t\;+\;a)\;+\;f_{i}(t\;-\;a)\}\;=\;2\cdot \sin(a\omega )\cdot C(\omega )\;\;\;\;\;(2f)}
[ 5]
C
{
f
(
t
)
⋅
cos
(
a
t
)
}
=
1
2
[
C
(
ω
+
a
)
+
C
(
ω
−
a
)
]
(
2
g
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f(t)\cdot \cos(at)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}C(\omega \;+\;a)\;+\;C(\omega \;-\;a)\right]\;\;\;\;\;(2g)}
C
{
f
(
t
)
⋅
sin
(
a
t
)
}
=
1
2
[
S
(
ω
+
a
)
−
S
(
ω
−
a
)
]
(
2
h
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f(t)\cdot \sin(at)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}S(\omega \;+\;a)\;-\;S(\omega \;-\;a)\right]\;\;\;\;\;(2h)}
S
{
f
(
t
)
⋅
cos
(
a
t
)
}
=
1
2
[
S
(
ω
+
a
)
+
S
(
ω
−
a
)
]
(
2
i
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{f(t)\cdot \cos(at)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}S(\omega \;+\;a)\;+\;S(\omega \;-\;a)\right]\;\;\;\;\;(2i)}
S
{
f
(
t
)
⋅
sin
(
a
t
)
}
=
1
2
[
C
(
ω
+
a
)
−
C
(
ω
−
a
)
]
(
2
j
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{f(t)\cdot \sin(at)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}C(\omega \;+\;a)\;-\;C(\omega \;-\;a)\right]\;\;\;\;\;(2j)}
[ 5]
Se fn (t), com n em algarismos romanos, denota a derivada de ordem n de f(t), tk p denota uma das m(p) descontinuidades da derivada de ordem p de f(t) (com p < n, evidentemente, e p em algarismos romanos), e hk p denota a amplitude dessas descontinuidades, então valem as relações seguintes:
h
k
p
=
f
p
(
t
k
p
+
ϵ
)
−
f
p
(
t
k
p
−
ϵ
)
(
2
k
)
{\displaystyle h_{k}^{p}\;=\;f^{p}(t_{k}^{p}\;+\;\epsilon )\;-\;f^{p}(t_{k}^{p}\;-\;\epsilon )\;\;\;\;\;(2k)}
C
{
f
I
(
t
)
}
=
ω
S
(
ω
)
−
f
(
0
)
−
∑
k
=
1
m
h
k
cos
(
ω
t
k
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f^{I}(t)\}\;=\;\omega S(\omega )\;-\;f(0)\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\cos(\omega t_{k})}
C
{
f
I
I
(
t
)
}
=
−
ω
2
C
(
ω
)
−
f
I
(
0
)
−
ω
∑
k
=
1
m
h
k
sin
(
ω
t
k
)
−
∑
k
=
1
m
(
I
)
h
k
I
cos
(
ω
t
k
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f^{II}(t)\}\;=\;-\omega ^{2}C(\omega )\;-\;f^{I}(0)\;-\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\sin(\omega t_{k})\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\cos(\omega t_{k})}
C
{
f
I
I
I
(
t
)
}
=
−
ω
3
S
(
ω
)
+
ω
2
f
(
0
)
−
f
I
I
(
0
)
+
ω
2
∑
k
=
1
m
h
k
ω
cos
(
ω
t
k
)
+
ω
∑
k
=
1
m
(
I
)
h
k
I
sin
(
ω
t
k
)
−
∑
k
=
1
m
(
I
I
)
h
k
I
I
cos
(
ω
t
k
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f^{III}(t)\}\;=\;-\omega ^{3}S(\omega )\;+\;\omega ^{2}f(0)\;-\;f^{II}(0)\;+\;\omega ^{2}\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\omega \cos(\omega t_{k})\;+\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\sin(\omega t_{k})\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m(II)}h_{k}^{II}\cos(\omega t_{k})}
C
{
f
I
V
(
t
)
}
=
ω
4
C
(
ω
)
+
ω
2
f
I
(
0
)
−
f
I
I
I
(
0
)
+
ω
3
∑
k
=
1
m
h
k
ω
sin
(
ω
t
k
)
+
ω
2
∑
k
=
1
m
(
I
)
h
k
I
cos
(
ω
t
k
)
−
.
.
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f^{IV}(t)\}\;=\;\omega ^{4}C(\omega )\;+\;\omega ^{2}f^{I}(0)\;-\;f^{III}(0)\;+\;\omega ^{3}\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\omega \sin(\omega t_{k})\;+\;\omega ^{2}\sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\cos(\omega t_{k})\;-\;...}
.
.
.
−
ω
∑
k
=
1
m
(
I
I
)
h
k
I
I
sin
(
ω
t
k
)
−
∑
k
=
1
m
(
I
I
I
)
h
k
I
I
I
cos
(
ω
t
k
)
(
2
l
)
{\displaystyle ...\;-\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m(II)}h_{k}^{II}\sin(\omega t_{k})\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m(III)}h_{k}^{III}\cos(\omega t_{k})\;\;\;\;\;(2l)}
e assim por diante; para a transformada de seno:
S
{
f
I
(
t
)
}
=
ω
C
(
ω
)
+
∑
k
=
1
m
h
k
sin
(
ω
t
k
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{f^{I}(t)\}\;=\;\omega C(\omega )\;+\;\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\sin(\omega t_{k})}
S
{
f
I
I
(
t
)
}
=
−
ω
2
S
(
ω
)
+
ω
f
(
0
)
−
ω
∑
k
=
1
m
h
k
cos
(
ω
t
k
)
+
∑
k
=
1
m
(
I
)
h
k
I
sin
(
ω
t
k
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{f^{II}(t)\}\;=\;-\omega ^{2}S(\omega )\;+\;\omega f(0)\;-\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\cos(\omega t_{k})\;+\;\sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\sin(\omega t_{k})}
C
{
f
I
I
I
(
t
)
}
=
−
ω
3
C
(
ω
)
+
ω
2
f
(
0
)
−
f
I
I
(
0
)
+
ω
2
∑
k
=
1
m
h
k
ω
sin
(
ω
t
k
)
−
ω
∑
k
=
1
m
(
I
)
h
k
I
cos
(
ω
t
k
)
−
∑
k
=
1
m
(
I
I
)
h
k
I
I
sin
(
ω
t
k
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f^{III}(t)\}\;=\;-\omega ^{3}C(\omega )\;+\;\omega ^{2}f(0)\;-\;f^{II}(0)\;+\;\omega ^{2}\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\omega \sin(\omega t_{k})\;-\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\cos(\omega t_{k})\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m(II)}h_{k}^{II}\sin(\omega t_{k})}
C
{
f
I
V
(
t
)
}
=
ω
4
S
(
ω
)
−
ω
3
f
(
0
)
+
ω
f
I
I
(
0
)
−
ω
3
∑
k
=
1
m
h
k
ω
cos
(
ω
t
k
)
+
ω
2
∑
k
=
1
m
(
I
)
h
k
I
sin
(
ω
t
k
)
+
.
.
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f^{IV}(t)\}\;=\;\omega ^{4}S(\omega )\;-\;\omega ^{3}f(0)\;+\;\omega f^{II}(0)\;-\;\omega ^{3}\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\omega \cos(\omega t_{k})\;+\;\omega ^{2}\sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\sin(\omega t_{k})\;+\;...}
.
.
.
+
ω
∑
k
=
1
m
(
I
I
)
h
k
I
I
cos
(
ω
t
k
)
−
∑
k
=
1
m
(
I
I
I
)
h
k
I
I
I
sin
(
ω
t
k
)
(
2
m
)
{\displaystyle ...\;+\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m(II)}h_{k}^{II}\cos(\omega t_{k})\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m(III)}h_{k}^{III}\sin(\omega t_{k})\;\;\;\;\;(2m)}
e assim por diante.[ 5]
C
{
∫
t
∞
f
(
t
)
d
t
}
=
1
ω
S
(
ω
)
(
2
n
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\left\{\int _{t}^{\infty }f(t)\;dt\right\}\;=\;{\frac {1}{\omega }}S(\omega )\;\;\;\;\;(2n)}
S
{
∫
0
t
f
(
t
)
d
t
}
=
1
ω
C
(
ω
)
(
2
o
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{\int _{0}^{t}f(t)\;dt\right\}\;=\;{\frac {1}{\omega }}C(\omega )\;\;\;\;\;(2o)}
também neste caso f(t() precisa atender às condições fortes de existência das transformadas .[ 5]
S
−
1
{
∫
ω
∞
C
(
ω
)
d
ω
}
=
−
1
t
f
(
t
)
(
2
p
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}^{-1}\left\{\int _{\omega }^{\infty }C(\omega )\;d\omega \right\}\;=\;-{\frac {1}{t}}f(t)\;\;\;\;\;(2p)}
C
−
1
{
∫
ω
∞
S
(
ω
)
d
ω
}
=
1
t
f
(
t
)
(
2
q
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{-1}\left\{\int _{\omega }^{\infty }S(\omega )\;d\omega \right\}\;=\;{\frac {1}{t}}f(t)\;\;\;\;\;(2q)}
também neste caso f(t() precisa atender às condições fortes de existência das transformadas .[ 5]
C
{
t
2
n
⋅
f
(
t
)
}
=
(
−
1
)
n
d
2
n
d
ω
2
n
C
(
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{t^{2n}\cdot f(t)\}\;=\;(-1)^{n}\;{\frac {d^{2n}}{d\omega ^{2n}}}\;C(\omega )}
C
{
t
2
n
+
1
⋅
f
(
t
)
}
=
(
−
1
)
n
+
1
d
2
n
+
1
d
ω
2
n
+
1
S
(
ω
)
|
n
>
0
(
2
r
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{t^{2n\;+\;1}\cdot f(t)\}\;=\;(-1)^{n\;+\;1}\;{\frac {d^{2n\;+\;1}}{d\omega ^{2n\;+\;1}}}\;S(\omega )\quad |\;n\;>\;0\;\;\;\;\;(2r)}
S
{
t
2
n
⋅
f
(
t
)
}
=
(
−
1
)
n
d
2
n
d
ω
2
n
S
(
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{t^{2n}\cdot f(t)\}\;=\;(-1)^{n}\;{\frac {d^{2n}}{d\omega ^{2n}}}\;S(\omega )}
S
{
t
2
n
+
1
⋅
f
(
t
)
}
=
(
−
1
)
n
+
1
d
2
n
+
1
d
ω
2
n
+
1
C
(
ω
)
|
n
>
0
(
2
s
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{t^{2n\;+\;1}\cdot f(t)\}\;=\;(-1)^{n\;+\;1}\;{\frac {d^{2n\;+\;1}}{d\omega ^{2n\;+\;1}}}\;C(\omega )\quad |\;n\;>\;0\;\;\;\;\;(2s)}
onde
d
p
d
ω
p
F
(
ω
)
{\displaystyle {\frac {d^{p}}{d\omega ^{p}}}\;F(\omega )}
denota a derivada de ordem p de F(ω). As funções a ser transformadas em cada caso devem atender às condições fortes de existência das transformadas .[ 5]
A formulação do lema de Riemann-Lebesgue para essas transformadas é a seguinte:
lim
ω
→
∞
C
(
ω
)
=
lim
ω
→
∞
S
(
ω
)
=
0
(
2
t
)
{\displaystyle \lim _{\omega \to \infty }C(\omega )\;=\;\lim _{\omega \to \infty }S(\omega )\;=\;0\;\;\;\;\;(2t)}
Aqui também é necessário que f(t) atenda às condições fortes de existência das transformadas .[ 5]
Se f(t) e g(t) atendem às condições (fracas) para existência das respectivas transformadas de cosseno, e fp (t) e gp são uma funções pares tal que
f(p (t) = f(|t|) no intervalo [-∞,∞]
g(p (t) = g(|t|) no intervalo [-∞,∞]
então f(p (t) e g(p (t) são as extensões pares de f(t) e g(t), respectivamente, nesse intervalo, e vale a relação
C
{
f
p
(
t
)
∗
g
p
(
t
)
}
=
2
⋅
C
{
f
(
t
)
}
⋅
C
{
g
(
t
)
}
(
2
u
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f_{p}(t)\;*\;g_{p}(t)\}\;=\;2\cdot {\mathcal {C}}\{f(t)\}\cdot {\mathcal {C}}\{g(t)\}\;\;\;\;\;(2u)}
onde o símbolo * denota a convolução de duas funções.
Além disso, se f(t) e g(t) atendem às condições (fracas) para existência das respectivas transformadas de cosseno, e fi (t) e gi são uma funções pares tal que
f(i (t) = sgn(t)·f(|t|) no intervalo [-∞,∞], onde sgn(t) é a função sinal
g(i (t) = sgn(t)·g(|t|) no intervalo [-∞,∞]
então f(i (t) e g(i (t) são as extensões ímpares de f(t) e g(t), respectivamente, nesse intervalo, e vale a relação
C
{
f
i
(
t
)
∗
g
i
(
t
)
}
=
2
⋅
S
{
f
(
t
)
}
⋅
S
{
g
(
t
)
}
(
2
v
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\{f_{i}(t)\;*\;g_{i}(t)\}\;=\;2\cdot {\mathcal {S}}\{f(t)\}\cdot {\mathcal {S}}\{g(t)\}\;\;\;\;\;(2v)}
[ 5]
A partir das expressões (1a) a (1d), pode-se escrever
F
{
f
(
t
)
⋅
u
(
t
)
}
=
1
2
[
C
(
ω
)
−
i
S
(
ω
)
]
(
3
a
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\cdot u(t)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}C(\omega )\;-\;iS(\omega )\right]\;\;\;\;\;(3a)}
onde u(t) é a função degrau unitário .
C
(
ω
)
=
F
{
f
(
t
)
+
f
(
−
t
)
}
(
3
b
)
{\displaystyle C(\omega )\;=\;{\mathcal {F}}\{f(t)\;+\;f(-t)\}\;\;\;\;\;(3b)}
S
(
ω
)
=
i
⋅
F
{
f
(
t
)
−
f
(
−
t
)
}
(
3
c
)
{\displaystyle S(\omega )\;=\;i\cdot {\mathcal {F}}\{f(t)\;-\;f(-t)\}\;\;\;\;\;(3c)}
[ 2]
Tabela 1 - Transformadas de seno de algumas funções f(t)[ 6]
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
S
(
ω
)
{\displaystyle S(\omega )}
r
e
c
t
(
t
a
−
1
)
{\displaystyle rect\left({\frac {t}{a}}\;-\;1\right)}
1
ω
[
1
−
cos
(
a
ω
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{\omega }}\left[1\;-\;\cos(a\omega )\right]}
t
r
i
(
t
a
−
1
)
{\displaystyle tri\left({\frac {t}{a}}\;-\;1\right)}
1
a
ω
2
[
2
sin
(
a
ω
)
−
sin
(
2
a
ω
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{a\omega ^{2}}}\left[{\frac {}{}}2\sin(a\omega )\;-\;\sin(2a\omega )\right]}
1
t
⋅
u
(
t
−
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{t}}\cdot u(t\;-\;a)}
−
C
i
(
a
ω
)
{\displaystyle -Ci(a\omega )}
1
t
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {t}}}}
π
2
ω
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2\omega }}}}
1
z
+
t
{\displaystyle {\frac {1}{z\;+\;t}}}
sin
(
a
ω
)
⋅
C
i
(
a
ω
)
−
cos
(
a
ω
)
⋅
s
i
(
a
ω
)
{\displaystyle \sin(a\omega )\cdot Ci(a\omega )\;-\;\cos(a\omega )\cdot si(a\omega )}
1
a
2
+
t
2
{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}\;+\;t^{2}}}}
1
2
a
[
e
−
a
ω
⋅
E
i
¯
(
a
ω
)
−
e
a
ω
⋅
E
i
(
−
a
ω
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{2a}}\left[e^{-a\omega }\cdot {\bar {Ei}}(a\omega )\;-\;e^{a\omega }\cdot Ei(-a\omega )\right]}
1
a
2
−
t
2
{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}\;-\;t^{2}}}}
1
a
[
sin
(
a
ω
)
⋅
C
i
(
a
ω
)
−
cos
(
a
ω
)
⋅
S
i
(
a
ω
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{a}}\left[\sin(a\omega )\cdot Ci(a\omega )\;-\;\cos(a\omega )\cdot Si(a\omega )\right]}
b
b
2
+
(
a
−
t
)
2
{\displaystyle {\frac {b}{b^{2}\;+\;(a\;-\;t)^{2}}}}
π
sin
(
a
ω
)
⋅
e
−
b
ω
{\displaystyle \pi \sin(a\omega )\cdot e^{-b\omega }}
a
+
t
b
2
+
(
a
+
t
)
2
−
a
−
t
b
2
+
(
a
−
t
)
2
{\displaystyle {\frac {a\;+\;t}{b^{2}\;+\;(a\;+\;t)^{2}}}\;-\;{\frac {a\;-\;t}{b^{2}\;+\;(a\;-\;t)^{2}}}}
π
sin
(
a
ω
)
⋅
e
−
b
ω
{\displaystyle \pi \sin(a\omega )\cdot e^{-b\omega }}
e
−
b
t
{\displaystyle e^{-bt}}
ω
b
2
+
ω
2
{\displaystyle {\frac {\omega }{b^{2}\;+\;\omega ^{2}}}}
ln
(
t
+
a
t
−
a
)
{\displaystyle \ln \left({\frac {t\;+\;a}{t\;-\;a}}\right)}
π
ω
sin
(
a
ω
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{\omega }}\sin(a\omega )}
sin
(
a
t
)
t
{\displaystyle {\frac {\sin(at)}{t}}}
1
2
ln
(
ω
+
a
ω
−
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\;\ln \left({\frac {\omega \;+\;a}{\omega \;-\;a}}\right)}
e
−
d
t
⋅
sin
(
c
t
)
t
{\displaystyle {\frac {e^{-dt}\cdot \sin(ct)}{t}}}
1
4
ln
(
b
2
+
(
ω
+
a
)
2
b
2
+
(
ω
−
a
)
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{4}}\ln \left({\frac {b^{2}\;+\;(\omega \;+\;a)^{2}}{b^{2}\;+\;(\omega \;-\;a)^{2}}}\right)}
e
−
d
t
⋅
cos
(
c
t
)
{\displaystyle e^{-dt}\cdot \cos(ct)}
1
2
[
ω
−
a
b
2
+
(
ω
−
a
)
2
+
ω
+
a
b
2
+
(
ω
+
a
)
2
]
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\frac {\omega \;-\;a}{b^{2}\;+\;(\omega \;-\;a)^{2}}}\;+\;{\frac {\omega \;+\;a}{b^{2}\;+\;(\omega \;+\;a)^{2}}}\right]}
s
i
(
a
t
)
{\displaystyle si(at)}
−
π
2
ω
|
ω
>
a
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2\omega }}\qquad |\;\omega \;>\;a}
E
i
(
−
a
t
)
{\displaystyle Ei(-at)}
−
1
2
ω
ln
(
ω
2
a
2
+
1
)
{\displaystyle -{\frac {1}{2\omega }}\ln \left({\frac {\omega ^{2}}{a^{2}}}\;+\;1\right)}
Tabela 2 - Transformadas de cosseno de algumas funções f(t)[ 7]
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
C
(
ω
)
{\displaystyle C(\omega )}
r
e
c
t
(
t
a
−
1
)
{\displaystyle rect\left({\frac {t}{a}}\;-\;1\right)}
1
ω
sin
(
a
ω
)
{\displaystyle {\frac {1}{\omega }}\sin(a\omega )}
t
r
i
(
t
a
−
1
)
{\displaystyle tri\left({\frac {t}{a}}\;-\;1\right)}
1
a
ω
2
[
2
cos
(
a
ω
)
−
cos
(
2
a
ω
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{a\omega ^{2}}}\left[{\frac {}{}}2\cos(a\omega )\;-\;\cos(2a\omega )\right]}
1
t
⋅
u
(
t
−
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{t}}\cdot u(t\;-\;a)}
−
s
i
(
a
ω
)
{\displaystyle -si(a\omega )}
1
t
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {t}}}}
π
2
ω
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2\omega }}}}
1
z
+
t
{\displaystyle {\frac {1}{z\;+\;t}}}
−
cos
(
a
ω
)
⋅
C
i
(
a
ω
)
−
sin
(
a
ω
)
⋅
s
i
(
a
ω
)
{\displaystyle -\cos(a\omega )\cdot Ci(a\omega )\;-\;\sin(a\omega )\cdot si(a\omega )}
1
b
2
+
t
2
{\displaystyle {\frac {1}{b^{2}\;+\;t^{2}}}}
π
2
b
e
−
b
ω
{\displaystyle {\frac {\pi }{2b}}\;e^{-b\omega }}
1
a
2
−
t
2
{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}\;-\;t^{2}}}}
π
2
a
sin
(
a
ω
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2a}}\sin(a\omega )}
d
d
2
+
(
c
−
t
)
2
+
d
d
2
+
(
c
+
t
)
2
{\displaystyle {\frac {d}{d^{2}\;+\;(c\;-\;t)^{2}}}\;+\;{\frac {d}{d^{2}\;+\;(c\;+\;t)^{2}}}}
π
cos
(
c
ω
)
⋅
e
−
d
ω
{\displaystyle \pi \cos(c\omega )\cdot e^{-d\omega }}
c
−
t
d
2
+
(
c
−
t
)
2
+
c
+
t
d
2
+
(
c
+
t
)
2
{\displaystyle {\frac {c\;-\;t}{d^{2}\;+\;(c\;-\;t)^{2}}}\;+\;{\frac {c\;+\;t}{d^{2}\;+\;(c\;+\;t)^{2}}}}
π
sin
(
c
ω
)
⋅
e
−
d
ω
{\displaystyle \pi \sin(c\omega )\cdot e^{-d\omega }}
e
−
b
t
{\displaystyle e^{-bt}}
b
b
2
+
ω
2
{\displaystyle {\frac {b}{b^{2}\;+\;\omega ^{2}}}}
e
−
b
t
2
{\displaystyle e^{-bt^{2}}}
1
2
π
b
e
ω
2
4
b
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{b}}}\;e^{\frac {\omega ^{2}}{4b}}}
1
t
(
e
−
b
t
−
e
−
h
t
)
{\displaystyle {\frac {1}{t}}\;\left(e^{-bt}\;-\;e^{-ht}\right)}
1
2
ln
(
h
2
+
ω
2
b
2
+
ω
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {h^{2}\;+\;\omega ^{2}}{b^{2}\;+\;\omega ^{2}}}\right)}
s
i
n
c
(
t
)
{\displaystyle sinc(t)}
π
2
a
u
(
a
−
ω
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2a}}u(a-\omega )}
e
−
b
t
⋅
sin
(
a
t
)
{\displaystyle e^{-bt}\cdot \sin(at)}
1
2
[
a
+
ω
b
2
+
(
a
+
ω
)
2
+
a
−
ω
b
2
−
(
a
−
ω
)
2
]
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{a\;+\;\omega }{b^{2}\;+\;(a\;+\;\omega )^{2}}\;+\;{\frac {a\;-\;\omega }{b^{2}\;-\;(a\;-\;\omega )^{2}}}\right]}
e
−
d
t
⋅
sin
(
c
t
)
{\displaystyle e^{-dt}\cdot \sin(ct)}
d
2
[
1
b
2
+
(
a
+
ω
)
2
+
1
b
2
−
(
a
−
ω
)
2
]
{\displaystyle {\frac {d}{2}}\left[{\frac {1}{b^{2}\;+\;(a\;+\;\omega )^{2}}}\;+\;{\frac {1}{b^{2}\;-\;(a\;-\;\omega )^{2}}}\right]}
s
i
(
a
t
)
{\displaystyle si(at)}
−
1
2
ω
ln
(
ω
+
a
ω
−
a
)
{\displaystyle -{\frac {1}{2\omega }}\ln \left({\frac {\omega \;+\;a}{\omega \;-\;a}}\right)}
C
i
(
a
t
)
{\displaystyle Ci(at)}
−
π
2
ω
|
ω
>
a
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2\omega }}\qquad |\;\omega \;>\;a}
E
i
(
−
a
t
)
{\displaystyle Ei(-at)}
−
1
ω
arctan
(
ω
a
)
{\displaystyle -{\frac {1}{\omega }}\arctan \left({\frac {\omega }{a}}\right)}
onde:
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)\,}
é a função degrau unitário
C
i
(
x
)
{\displaystyle Ci(x)\,}
é a função cosseno integral
S
i
(
x
)
{\displaystyle Si(x)\,}
é a função seno integral
s
i
(
x
)
{\displaystyle si(x)\,}
está relacionada à função Si(x)
E
i
(
x
)
{\displaystyle Ei(x)\,}
é a função exponencial integral
E
i
¯
(
x
)
{\displaystyle {\bar {Ei}}(x)\,}
está relacionada à função Ei(x)[ nota 5]
r
e
c
t
(
x
)
{\displaystyle rect(x)\,}
é a função retangular
t
r
i
(
x
)
{\displaystyle tri(x)\,}
é a função triangular
s
i
n
c
(
x
)
{\displaystyle sinc(x)\,}
é a função seno cardinal
a
∈
R
|
a
>
0
{\displaystyle a\in {\mathcal {R}}\;|\;a\;>\;0\,}
b
,
h
∈
C
|
ℜ
{
b
}
>
0
{\displaystyle b,h\in {\mathcal {C}}\;|\;\Re \{b\}\;>\;0\,}
c
,
d
∈
C
|
ℑ
{
c
}
<
ℜ
{
d
}
{\displaystyle c,d\in {\mathcal {C}}\;|\;\Im \{c\}\;<\;\Re \{d\}\,}
z
∈
C
|
0
≤
A
r
g
(
z
)
<
π
{\displaystyle z\in {\mathcal {C}}\;|\;0\;\leq \;Arg(z)\;<\;\pi \,}
Uma corda de violino, afastada da posição de repouso em um ponto qualquer diferente do centro, experimentará vibrações após liberada. Chamemos y(x,t) à distância da corda em relação à posição de repouso em um dado ponto x qualquer e em um instante dado t. Sempre se pode escolher um sistema de coordenadas em que o comprimento da mesma é unitário; da mesma forma, a amplitude do deslocamento inicial produzido pode ser feita unitária. Seja x = b a posição em que foi inserida a perturbação. A corda estará sujeita à condição de contorno y(0,t) = y(1,t) = 0 para todo t, e podemos escrever
y
(
x
,
0
)
=
{
0
:
x
<
0
x
b
:
0
<
x
<
b
1
−
x
1
−
b
:
b
<
x
<
1
0
:
x
>
1
{\displaystyle y(x,0)\;=\;\left\{{\begin{matrix}0&:&x\;<\;0\\{\frac {x}{b}}&:&0\;<\;x\;<\;b\\\\{\frac {1\;-\;x}{1\;-\;b}}&:&b\;<\;x\;<\;1\\\\0&:&x\;>\;1\end{matrix}}\right.}
A transformada de seno de y(x,t) é, de acordo com a definição (1a)
F
{
y
(
x
,
0
)
}
=
Y
(
ω
)
=
∫
0
∞
y
(
x
,
0
)
⋅
sin
(
ω
x
)
d
x
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{y(x,0)\}\;=\;Y(\omega )\;=\;\int _{0}^{\infty }y(x,0)\cdot \sin(\omega x)\;dx}
Y
(
ω
)
=
∫
0
b
x
b
⋅
sin
(
ω
x
)
d
x
+
∫
b
1
1
−
x
1
−
b
⋅
sin
(
ω
x
)
d
x
=
1
b
[
sin
(
ω
x
)
ω
2
−
x
cos
(
ω
x
)
ω
]
|
0
b
+
x
1
−
b
|
b
1
−
1
1
−
b
[
sin
(
ω
x
)
ω
2
−
x
cos
(
ω
x
)
ω
]
|
b
1
{\displaystyle Y(\omega )\;=\;\int _{0}^{b}{\frac {x}{b}}\cdot \sin(\omega x)\;dx\;+\;\int _{b}^{1}{\frac {1\;-\;x}{1\;-\;b}}\cdot \sin(\omega x)\;dx\;=\;{\frac {1}{b}}\left.\left[{\frac {\sin(\omega x)}{\omega ^{2}}}\;-\;{\frac {x\cos(\omega x)}{\omega }}\right]\right|_{0}^{b}\;+\;\left.{\frac {x}{1\;-\;b}}\right|_{b}^{1}\;-\;{\frac {1}{1\;-\;b}}\left.\left[{\frac {\sin(\omega x)}{\omega ^{2}}}\;-\;{\frac {x\cos(\omega x)}{\omega }}\right]\right|_{b}^{1}}
Y
(
ω
)
=
1
b
[
sin
(
ω
b
)
ω
2
−
b
cos
(
ω
b
)
ω
]
+
1
−
b
1
−
b
−
1
1
−
b
[
sin
(
ω
)
ω
2
−
cos
(
ω
)
ω
−
sin
(
ω
b
)
ω
2
+
b
cos
(
ω
b
)
ω
]
{\displaystyle Y(\omega )\;=\;{\frac {1}{b}}\left[{\frac {\sin(\omega b)}{\omega ^{2}}}\;-\;{\frac {b\cos(\omega b)}{\omega }}\right]\;+\;{\frac {1\;-\;b}{1\;-\;b}}\;-\;{\frac {1}{1\;-\;b}}\left[{\frac {\sin(\omega )}{\omega ^{2}}}\;-\;{\frac {\cos(\omega )}{\omega }}\;-\;{\frac {\sin(\omega b)}{\omega ^{2}}}\;+\;{\frac {b\cos(\omega b)}{\omega }}\right]}
Y
(
ω
)
=
1
+
(
1
b
ω
2
(
1
−
b
)
)
⋅
(
(
1
−
b
)
[
sin
(
ω
b
)
−
ω
b
cos
(
ω
b
)
]
−
[
b
sin
(
ω
)
−
ω
b
cos
(
ω
)
−
b
sin
(
ω
b
)
+
ω
b
2
cos
(
ω
b
)
]
)
{\displaystyle Y(\omega )\;=\;1\;+\;\left({\frac {1}{b\omega ^{2}(1\;-\;b)}}\right)\cdot \left({\frac {}{}}(1\;-\ b)\left[\sin(\omega b)\;-\;\omega b\cos(\omega b)\right]\;-\;\left[b\sin(\omega )\;-\;\omega b\cos(\omega )\;-\;b\sin(\omega b)\;+\;\omega b^{2}\cos(\omega b)\right]\right)}
Y
(
ω
)
=
1
+
(
1
b
ω
2
(
1
−
b
)
)
⋅
(
sin
(
ω
b
)
−
ω
b
cos
(
ω
b
)
−
b
sin
(
ω
)
+
ω
b
cos
(
ω
)
)
{\displaystyle Y(\omega )\;=\;1\;+\;\left({\frac {1}{b\omega ^{2}(1\;-\;b)}}\right)\cdot \left({\frac {}{}}\sin(\omega b)\;-\;\omega b\cos(\omega b)\;-\;b\sin(\omega )\;+\;\omega b\cos(\omega )\right)}
que só envolve coeficientes reais e é mais simples que a transformada de Fourier de y(x,0).
Neste exemplo as condições de contorno levaram à escolha natural da transformada de seno. Um exemplo em que a transformada de cosseno seria a escolha natural é a análise de ondas estacionárias em um canal fechado em ambas as extremidades.[ 8]
Seja a equação diferencial parcial
∂
∂
t
u
(
x
,
t
)
+
∂
2
∂
x
u
(
x
,
t
)
=
h
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\;u(x,t)\;+\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial x}}\;u(x,t)\;=\;h(x,t)}
onde u é a função de duas variáveis, x e t, que se deseja encontrar, e as condições de contorno são u(x,0) = f(x) e u(0,t) = g(t), sendo dadas as funções h(x,t), f(x) e g(t). Aplicando-se a transformação de seno em relação à variável x, e em vista das propriedades (2m), teremos
∂
∂
t
U
(
ω
,
t
)
+
ω
2
U
(
ω
,
t
)
−
ω
⋅
g
(
t
)
=
H
(
ω
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\;U(\omega ,t)\;+\;\omega ^{2}U(\omega ,t)\;-\;\omega \cdot g(t)\;=\;H(\omega ,t)}
[ nota 6]
onde U(ω,t) e H(ω,t) são as transformadas de seno de u(x,t) e h(x,t), respectivamente. Resolvendo-se a equação para U(ω,t)
U
(
ω
,
t
)
⋅
e
ω
2
t
=
∫
0
t
[
ω
⋅
g
(
τ
)
+
H
(
ω
,
τ
)
]
e
ω
2
τ
d
τ
+
C
1
{\displaystyle U(\omega ,t)\cdot e^{\omega ^{2}t}\;=\;\int _{0}^{t}\left[\omega \cdot g(\tau )\;+\;H(\omega ,\tau )\right]e^{\omega ^{2}\tau }\;d\tau \;+\;C_{1}}
onde C1 é uma constante de integração. Fazendo-se t = 0 nesta última equação, teremos
U
(
ω
,
0
)
=
C
1
=
F
(
ω
)
{\displaystyle U(\omega ,0)\;=\;C_{1}\;=\;F(\omega )}
, onde F(ω) é a transformada de seno de f(x). Assim,
U
(
ω
,
t
)
=
e
−
ω
2
t
(
∫
0
t
[
ω
⋅
g
(
τ
)
+
H
(
ω
,
τ
)
]
e
ω
2
τ
d
τ
+
F
(
ω
)
)
{\displaystyle U(\omega ,t)\;=\;e^{-\omega ^{2}t}\left(\int _{0}^{t}\left[\omega \cdot g(\tau )\;+\;H(\omega ,\tau )\right]e^{\omega ^{2}\tau }\;d\tau \;+\;F(\omega )\right)}
e u(x,t) é obtida a partir da aplicação da transformada inversa de seno a esta última equação.[ 9]
Seja a equação diferencial de segunda ordem
x
″
(
t
)
+
λ
x
(
t
)
=
f
(
t
)
{\displaystyle x''(t)\;+\;\lambda x(t)\;=\;f(t)}
onde λ é uma constante, com condições de contorno x'(0) = 0 e x(∞) = 0, e sendo dada a função f(t)
f
(
t
)
=
{
0
:
t
≤
0
A
:
0
<
t
<
b
0
:
t
≥
b
=
A
[
1
−
u
(
t
−
b
)
]
{\displaystyle f(t)\;=\;\left\{{\begin{matrix}0&:&t\;\leq \;0\\A&:&0\;<\;t\;<\;b\\0&:&t\;\geq \;b\end{matrix}}\right.\;=\;A\left[{\frac {}{}}1\;-\;u(t-b)\right]}
onde u(x) é a função degrau unitário. Aplicando-se a transformação de cosseno às equações, e em vista das propriedades (2l), teremos
−
ω
2
X
(
ω
)
−
λ
2
X
(
ω
)
=
A
ω
sin
(
ω
b
)
{\displaystyle -\omega ^{2}X(\omega )\;-\;\lambda ^{2}X(\omega )\;=\;{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega b)}
onde X(ω) é a transformada de cosseno de x(t). Resolvendo-se para X(ω), tem-se
X
(
ω
)
=
A
λ
2
[
ω
sin
(
ω
b
)
ω
2
+
λ
2
−
sin
(
ω
b
)
ω
]
{\displaystyle X(\omega )\;=\;{\frac {A}{\lambda ^{2}}}\left[{\frac {\omega \sin(\omega b)}{\omega ^{2}\;+\;\lambda ^{2}}}\;-\;{\frac {\sin(\omega b)}{\omega }}\right]}
A aplicação da transformada inversa fornece a resposta
X
(
ω
)
=
{
A
λ
2
[
e
−
λ
b
cosh
(
λ
t
)
−
1
]
:
t
<
b
−
A
λ
2
e
−
λ
t
sinh
(
λ
b
)
:
t
>
b
{\displaystyle X(\omega )\;=\;\left\{{\begin{matrix}{\frac {A}{\lambda ^{2}}}\left[e^{-\lambda b}\cosh(\lambda t)\;-\;1\right]&:&t\;<\;b\\\\-{\frac {A}{\lambda ^{2}}}e^{-\lambda t}\sinh(\lambda b)&:&t\;>\;b\end{matrix}}\right.}
As condições de contorno favoreceram o uso da transformada de cosseno; confrontar essas condições com as dos exemplos anteriores, que favoreceram o uso da transformada de seno. A solução por meio daquela transformação evitou o emprego de números complexos , que seriam usados se fosse escolhida em seu lugar a transformada de Fourier.[ 9]
Em aplicações práticas, as transformadas são aplicadas não a funções contínuas do tempo, e sim a amostras de tais funções. Os dados obtidos têm duração finita e natureza discreta, tanto no tempo quanto na amplitude. A esses conjuntos de dados aplicam-se as versões discretas das transformações: a transformada discreta de seno (DST, do inglês Discrete Sine Transform ) e a transformada discreta de cosseno (DCT, do inglês Discrete Cosine Transform ). Na verdade, podem-se definir 4 tipos diferentes para cada uma delas, de acordo com critérios diversos; essas transformadas são denotadas de duas formas diferentes: DST1, DST2, DST3 e assim por diante, ou então DST-I, DST-II, DST-III e assim por diante, dependendo do autor.[ 10] [ 11]
Assim como a transformada de Fourier, as transformadas de seno e de cosseno podem ser estendidas para um maior número de dimensões de forma simples. Transformações bidimensionais encontram aplicação em diversas áreas, como processamento de imagem , por exemplo.
O processamento digital, especialmente quando combinado com algum tipo de compressão, pode introduzir artefatos perceptíveis, como na imagem à esquerda (a imagem à direita é o original) na foto ao lado. Transformações especiais, como a transformada discreta modificada de cosseno e a transformada discreta local de seno , foram desenvolvidas de forma a diminuir tais distorções. Essas transformadas se enquadram na categoria de transformadas superpostas (ing. lapped transforms ).[ 12]
↑ a b c Multiplicadores fixos convencionais podem aparecer, dependendo do autor.
↑ As funções que aparecem em aplicações de Física e Engenharia em geral não possuem componentes de frequência negativa. Para mais detalhes, consultar o verbete sistema causal .
↑ As convenções para definição da transformada de Fourier variam de autor para autor, com relação à grandeza da variável (frequência angular ou linear) e fatores multiplicadores. Aqui foi adotada a mesma convenção empregada no verbete principal Transformada de Fourier .
↑ Como as transformadas de seno e de cosseno são lineares , as expressões
S
{
a
⋅
f
(
t
)
}
=
a
⋅
S
(
ω
)
e
C
{
a
⋅
f
(
t
)
}
=
a
⋅
C
(
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\{a\cdot f(t)\}\;=\;a\cdot S(\omega ){\text{ e }}{\mathcal {C}}\{a\cdot f(t)\}\;=\;a\cdot C(\omega )}
são triviais.
↑ Pela expressão
E
i
¯
(
x
)
=
1
2
[
E
i
(
x
+
i
0
)
+
E
i
(
x
−
i
0
)
]
{\displaystyle {\bar {Ei}}(x)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}Ei(x\;+\;i0)\;+\;Ei(x\;-\;i0)\right]}
.
↑ Considerou-se que as funções são todas contínuas e obedecem às condições fortes de existência das transformadas.
Referências
↑ «Fourier Sine Transform» . site MathWorld. Consultado em 11 de junho de 2010
↑ a b R. Bracewell - The Fourier Transform and its Applications , 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1 , Cap. 2, pp. 16 a 17
↑ P. Yip - Sine and Cosine Transforms in A. Poularikas (org ) - The Transforms and Applications Handbook , 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pp. 274 a 275
↑ Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences , 2nd Ed, John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
↑ a b c d e f g h i j P. Yip - op. cit. , pp. 276 a 281, 294 a 297
↑ P. Yip - op. cit. , pp. 297 a 304
↑ P. Yip - op. cit. , pp. 281 a 290
↑ R. Bracewell - op. cit. , Cap. 12, pp. 319 a 320
↑ a b P. Yip - op. cit. , pp. 313 a 320
↑ P. Yip - op. cit. , pag. 305
↑ Z. Hafed e M. Levine - Face Recognition Using the Discrete Cosine Transform in International Journal of Computer Vision , 43(3), 2001, pp. 167 a 188
↑ P. Yip - op. cit. , pp. 320 a 324